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已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)1)求证:不论m取什么实数时,直线L与圆恒相交2)求直线L与圆C截得的线段的最短长度以及此时直
更新时间:2025-06-01 05:53:42 专题:数学
问题描述:

已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25

已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25,直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)

1)求证:不论m取什么实数时,直线L与圆恒相交

2)求直线L与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线L的方程.

孙新德回答:   1)证:圆(x-1)^2+(y-2)^2=25的半径R=5.圆心为C(1,2)   直线方程(2m+1)x+(m+1)y=7m+4就是(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,由于方程组   x+y-4=0,2x+y-7=0的解是x=3,y=1.   所以对于一切实数m,x=3,y=1都是直线方程的解,就是说无论m为何实数m所确定的直线L都经过点A(3,1)   由于(3-1)^2+(1-2)^2=5

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