【如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：DC∥平面PAB；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．】
更新时间：2025-06-03 07:56:33
专题：数学
问题描述：
如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
（1）求证：DC∥平面PAB；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．
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李功燕回答：
(1)见解析（2）
(1)证明：由题意可得，AB∥CD，CD⊄平面PAB，而AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．(2)证明：因为PB=PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC．又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，所以PO⊥平面ABCD．所以PO是棱锥的高，又AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，PO===，四棱锥P﹣ABCD的体积为•SABCD•PO=（）PO=×2=．
