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当前位置:首页 问答 小学 数学 已知圆C过定点A(0,a)且在x轴上截得的弦MN的长为2a(1)求圆C的圆心的轨迹方程;(2)若∠MAN=45°,求圆C的方程.
已知圆C过定点A(0,a)且在x轴上截得的弦MN的长为2a(1)求圆C的圆心的轨迹方程;(2)若∠MAN=45°,求圆C的方程.
更新时间:2025-06-03 07:56:16 专题:数学
问题描述:

已知圆C过定点A(0,a)且在x轴上截得的弦MN的长为2a

(1)求圆C的圆心的轨迹方程;

(2)若∠MAN=45°,求圆C的方程.

柯永振回答:   (1)设圆心C坐标为(x,y),半径r,   则r^2=CA^2=(x-0)^2+(y-a)^2,   设MN中点为P,则由勾股定理得r^2=CP^2+a^2=y^2+a^2,   以上两式相减,得x^2-2ay=0.这就是圆心的轨迹方程.   (2)
钱碧波回答:   嗯,很感谢你给我说了第一小问,但是我想问的其实是第二小问。谢谢!!!
柯永振回答:   (2)设圆心坐标为(x,x^2/(2a)),则M(x-a,0),N(x+a,0),因此kAM=a/(a-x),kAN=a/(-a-x),由于∠MAN=45度,所以由|kAM-kAN|/|1+kAM*kAN|=tan∠MAN,得|a/(a-x)-a/(-a-x)|/|1+a^2/(x^2-a^2)|=1,解得x=±√2*a,因此圆C方程为(x+√2a)^2+(y-a)^2=2a^2或(x-√2a)^2+(y-a)^2=2a^2。

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