【2010年《数学建模》练习题1.公平分配问题三人合作承包了1000件物品的搬运工作,总收入为20元(假设最小单位为元).工作完成后,甲搬运了515件,乙搬运了315件,丙搬运了170件.分别应得收入10.3,】
更新时间：2025-04-05 16:15:09
专题：数学
问题描述：
2010年《数学建模》练习题
1.公平分配问题
三人合作承包了1000件物品的搬运工作,总收入为20元(假设最小单位为元).工作完成后,甲搬运了515件,乙搬运了315件,丙搬运了170件.分别应得收入10.3,6.3,3.4元.因为最小单位为元,因此三人各自拿了应得的整数部分后,剩下1元归应得数中小数最大的一位丙.即分别收入10元,6元,4元.由于三人表现较好,提前完成了搬运工作.货主作为奖励,搬运费支付了21元钱.于是甲提议重新分配收入.21元按完成工作量各自应得10.815,6.615,3.57元.取整数后,按小数大小分配剩余,分别得分配收入11元,7元,3元.回答下列问题：
（1）上分配方案是否公平?为什么?
（2）建立数学模型确定分配方案．
2.罐盒设计问题
（1）欲设计一圆柱形罐头盒,其容积为V,应如何选取罐盒的高与直径的比,才能使材料最省?
（2）现假设焊缝的焊接成本比较高,问如何设计罐盒方能使焊缝的总长度最小?
（3）将两个优化目标一并考虑,结果如何?
3.一起交通事故发生3个小时后,警方测得司机血液中酒精的含量又过两个小时,含量降为试判断,当事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100.
杜奎然回答：
⑴这种分配方案不公平,显然这个分配结果对丙是极其不公平的,因为搬运费多支付了一元,而丙的收入却由4元减为3元.
⑵模型构成
⒈设A、B两方搬运的件数分别为和,分别应得和元,则两方所应搬运的件数分别为和,我们称为绝对不公平值.
若取=120,=100,10,则=2
若取=1020,=1000,10,则=2
由上例可知,用绝对不公平度来作为衡量不公平的标准并不合理.
若>,则称=为对A的相对不公平度,记为
若,此时对A不公平,下面分两种情形：
Ⅰ,说明即使给A增加1元,仍对A不公平,故这1元应给A.
Ⅱ,说明A方增加1元时,将对B不公平,此时计算对B的相对不公平值为
若这1元给B,则对A的相对不公平度值为
若即,则增加的1元给A方.
若即,则增加的1元给B方.
记根据上面的分析,增加的1元,应给Q值大的一方.
在上述计算过程中,前19元的分配没有争议,甲得10元,乙得6元,丙得3元,根据所建立的模型,对于20元的分配,有
故第20元分配给甲.
对于第21元的分配,有
故第21元分配给丙.
则21元的分配为甲得11元,乙得6元,丙得4元
