【名师讲堂】自主招生试题的演变 ——计数原理的应用-酷奇网问答

【名师讲堂】自主招生试题的演变 ——计数原理的应用

更新时间：2025-06-10 13:59:33 专题：高考

问题描述：

自主招生考试，是近几年高考的热门。在中学一对一，同学们更是怀揣梦想，最终大批同学通过自主招生考试迈入名校，如复旦大学、上海交通大学、同济大学等。上海新东方中学个性化数学教研组，一直以来致力于自主招生数学的教学与研究，通过对历年自主招生的研究，我们发现计数原理的应用在自主招生数学中非常重要，也是同学们参加自主招生考试必须重视的。下面我们就通过一道自主招生试题的演变来学习技术原理的应用。

赵奕欢回答： 2012年“复旦大学水平测试”（俗称“千分考”）中有这样一道题： 2012！的末尾有连续________个零. 这是一道常见的自主招生考题，分别在2003年上海交通大学冬令营测试，2006年上海交通大学推优保送生考试中出现，考查的知识点在于计数原理.上海新东方中学个性化数学教研组一直以来致力于中高考数学、自主招生数学的教学与研究，为了理清自主招生此类问题，我们进行如下探究. 演变1 求10！的末尾有连续_____个零. 解析：末尾出现零，主要是因为10！的因数中有因子2和因子5，它们相乘使得末尾出现零. 因为10！的中，因子2的个数超过因子5的个数，所以我们只要分析10！中因子5的个数. 解：10！=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10. 在1，2，3，…，10这10 数中，5的倍数的个数为2个. 所以10！的末尾有连续2个零. 演变2 【2003年上海交通大学冬令营】 100!末尾有连续______个零解析：100！中因子2的个数远远超过因子5的个数，分析100！中5的因子的个数即可. 解：100！=1×2×3×…×24×25×…×99×100. 在1，2，3，…，100这100个数中，5的倍数的个数为20个，这些数中，还有25，50，75，100这四个数，他们既是5的倍数，也是25（5的平方）的倍数，因为是25的倍数，所以它们都有2个因子5. 所以100！中因子5的个数共有20+4=24个. 所以10！的末尾有连续24个零. 演变3 【2012年复旦“千分考”】2012！的末尾有连续________个零. 解析：2012！中因子2的个数远远超过因子5的个数，分析2012！中5的因子的个数即可. 解：2012！=1×2×3×…×2011×2012. 在1，2，3，…，2012中，5的倍数有5，10，15，…，2000，2005，2010，共有402个. 在这402个5的倍数中，还有25，50，75，100，125，……，1975，2000等数，既是5的倍数，也是25（5的平方）的倍数，共有80个. 它们都有2个因子5. 在这80个25（5的平方）的倍数中，还有125，250，375，…，1875，2000等数，它们还是125（5的立方）的倍数，共有16个，它们都有3个因子5. 在16个125（5的立方）的倍数中，还有625，1250，1875这三个数，它们还是625（5的四次方）的倍数，它们都有4个因子5. 所以2012！中因子5的个数共有402+80+16+3=501个. 所以2012！的末尾有连续501个零. 说明同学们在准备自主招生考试时，应该加强都历年自主招生真题试卷的练习，自主招生的考题在各个知识点都有一定的延续性。练习（1）520！的末尾有连续__________个零（2）1314！的末尾有连续__________个零（3）【2006年上海交通大学自主招生】 2005！的末尾有连续________个零同学们，如果在自主招生备考过程中遇到任何学习问题，欢迎来到中学个性化学习中心，我们的老师会给你最高效实用的知识和应试指南。我们的热线电话是021—65101155