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【已知数列an的前n项和Sn=n-5an-85(1)求an的通项公式(2)令bn=log5/6×1-a1/18+log5/6×1-a2/18+...+log5/6×1-an/18,求数列1/bn的前n项和Tn】
更新时间:2025-06-11 01:41:59 专题:数学
问题描述:

已知数列an的前n项和Sn=n-5an-85(1)求an的通项公式(2)令bn=log5/6×1-a1/18+log5/6×1-a2/18+...+log5/6×1-an/18,求数列1/bn的前n项和Tn

贾久臣回答:   Sn=n-5an-85(1)   S(n+1)=n+1-5a(n+1)-85(2)   (2)-(1)整理得6a(n+1)=1+5an   即a(n+1)-1=(5/6)(an-1)   又由S1=a1=1-5a1-85得a1=-14   所以{an-1}为首项-15,公比5/6的等比数列   所以an=(-15)*(5/6)^(n-1)+1   (2)bn=log5/6(5/6*(5/6)^0)+log5/6(5/6*(5/6)^1)+log5/6(5/6*(5/6)^2)+...+log5/6(5/6*(5/6)^(n-1))   =1+0+1+1+1+2+1+3+...+1+(n-1)   =n+(0+n-1)*n/2   =n(2+n-1)/2   =n(n+1)/2   1/bn=2/(n(n+1))=2[1/n-1/(n+1)]   Tn=2[1-1/2+1/2-1/3+,.+1/n-1/(n+1)]   =2[1-1/(n+1)]   =2n/(n+1)

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