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当前位置:首页 问答 高中 数学 数学题已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F(x)=f(x)+g(x).已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的单调区间;(2)若点p为函数的图象上任意一点,当x包含于(0,3]
数学题已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F(x)=f(x)+g(x).已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的单调区间;(2)若点p为函数的图象上任意一点,当x包含于(0,3]
更新时间:2025-06-01 10:34:36 专题:数学
问题描述:

数学题已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F(x)=f(x)+g(x).

已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的单调区间;(2)若点p为函数的图象上任意一点,当x包含于(0,3]时,点P处的切线的斜率k≤1/2恒成立,求实数a的最小值;(3)是否存在实数m,使得函数y=g(2a/(1+x2)+m-1的图象与函数y=f(1+x2)的图象恰有四个不同的交点?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.

刘永立回答:   1.F(x)=f(x)+g(x)=lnx+a/x(a>0)   F'(x)=1/x-a/(x^2)=(x-a)/(x^2)   令F'(x)=0则x=a,故F(x)在(0,a)上递减,在(a,+∞)递增.   2.由题可得F'(x)=1/x-a/(x^2)=k≤1/2在(0,3]上恒成立,用分离系数法   移项同分之类得a≥-(x^2)/2+x=-0.5x(x-2)(因式分解)   由于a≥-(x^2)/2+x=-0.5x(x-2)对于x∈(0,3]恒成立而根据二次函数的特点x=1处取最大值,故由于a≥-(x^2)/2+x=-0.5x(x-2)对于x∈(0,3]恒成立时a≥-0.5*1*(-1)=0.5   得a的最小值为0.5   3.存在.   y=g[2a/(x^2+1)]+m-1的图像与y=f(1+x^2)的图像恰好有四个不同的交点则   g[2a/(x^2+1)]+m-1=f(1+x^2)有四个不同根   即(x^2+1)/2+m-1=ln(x^2+1)有四个不同根为了方便,这里先换元令c=x^2+1≥1   设u(c)=lnc-c/2(c≥1)则问题转化为y=u(c)与y=m-1的图像是否在c>1时有两个不同交点   (这样才能使x有4个根)   求导u'(c)=1/c-1/2=(2-c)/(2c)令u'(c)=0则c=1   画图观察则u(c)在(1,2)上递增,在(2,+∞)上递减   u(1)=-1/2u(2)=ln2-1   故只要u(1)<(m-1)<u(2)也即-1/2<(m-1)<ln2-1即1/2<m<ln2   即可满足y=u(c)与y=m-1的图像在c>1时有两个不同交点(这样才能使x有4个根)   所以m的取值范围是1/2<m<ln2

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