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在Rt△ABC中,∠BAC=90°,三角形的角平分线CE和高AD相交于点F,过F作FG∥BC交AB于点G,求证:(1)AE=BG.(2)若∠B=30°,FD=5,求四边形EBDF的面积.
更新时间:2025-06-11 05:03:18 专题:数学
问题描述:

在Rt△ABC中,∠BAC=90°,三角形的角平分线CE和高AD相交于点F,过F作FG∥BC交AB于点G,求证:(1)AE=BG.(2)若∠B=30°,FD=5,求四边形EBDF的面积.

江星华回答:   (1)证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,   ∴∠1+∠BAD=∠B+∠BAD=90°,   ∴∠1=∠B,   ∵CE是角平分线,   ∴∠2=∠3,   ∵∠5=∠1+∠2,∠4=∠3+∠B,   ∴∠4=∠5,   ∴AE=AF,   过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N,   ∴MN∥AB,   ∵FG∥BD,   ∴四边形GBNF为平行四边形,   ∴GB=FN,   ∵AD⊥BC,CE为角平分线,   ∴FD=FM,   在Rt△AMF和Rt△NDF中∠AMF=∠NDF=90°FM=FD∠6=∠7

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