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设函数f(x)在(-∞,+∞)可导,且满足f(0)=1,f'(x)=f(x),证明f(x)=e^x
更新时间:2025-04-04 23:03:23 专题:数学
问题描述:

设函数f(x)在(-∞,+∞)可导,且满足f(0)=1,f'(x)=f(x),证明f(x)=e^x

万平英回答:   f'(x)=f(x),即dy/dx=y   dy/y=dx   两边积分:lny=x+C   两边取e指数:y=e^x+C   f(0)=e^0+C=1   C=0   所以,f(x)=e^x
江明回答:   两边积分那步是怎么得来的啊?
万平英回答:   ∫(1/y)dy=lny+C,∫dx=x+C,C为任意常数(这是积分基本公式,需要牢记。)所以lny=lnx+CC由初值条件f(0)=1确定。

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