北大版九年级下册数学教课书上的习题2.8-习题2.10的答案,
更新时间：2025-04-11 00:18:15
专题：数学
问题描述：
北大版九年级下册数学教课书上的习题2.8-习题2.10的答案,
陆继东回答：
1、P是抛物线y²=4x的点则点P到直线4x+3y+15=0的距离最小值是多少?
设点P到直线的距离为d
设点P的坐标为（y²/4,y）
代入距离公式
d=｜y²+3y+15｜/√（4²+3²）=｜（y+3/2）²+51/4｜/5
很明显,y=-3/2时,y²+3y+15有最小值是51/4所以点P到直线的距离最小值是51/20
2、在直角坐标系中,抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴交于a,b两点,（点a在点b左侧）,与y轴交于点c,点a（－3,0）点c（0,3）,且抛物线对称轴是x=－2（1）若p是线段ac上一点,设△abp,△bpc的面积分别为s△abp,s△bpc,且s△abp比s△bpc=2比3,求p坐标（2）设圆心q半径为1,圆心q在抛物线上运动,则在运动过程中手否存在圆心q与y轴相切的情况,求q的坐标
（1）根据题意
对称轴x=-2
那么点b的坐标是（-1,0）
s△abp比s△bpc=2比3
因为s△abp和s△bpc是不同底而等高
也就是说ap：pc=2：3
oa²+oc²=ac²
ac=3√2
oa=oc,所以角oac是45度
那么点p到y轴距离=ac×3/5×cos角oac=3√2×3/5×√2/2=9/5
点p到x轴距离=ac×2/5×sin角oac=3√2×2/5×√2/2=6/5
所以点p的坐标是（-9/5,6/5）
（2）根据题意设抛物线解析式为y=ax²+bx+3
将（-3,0）（-2,0）代入
9a-3b+3=0
4a-2b+3=0
解得
a=1/2,b=-5/2
y=1/2x²-5/2x+3
如果存在q点,那么也就是说点q的距离到y轴=1
也就是当x=1或-1的时候
x=-1,y=0
x=1,y=5
q（-1,0）或（1,5）
3、直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交与点B,以线段AB为直径作圆C,抛物线y=ax的平方+bx+c过A,C,O三点.1、求点C的坐标和抛物线的解析式.2.过点B作直线与x轴交于点D,且OB的平方=OA*OD,求证DB是圆C的切线.3.抛物线上是否存在一点P,使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.
如图
1、令x=0和y=0分别求出点A和B的坐标
点A（6,0）,B（0,6）
圆心C的坐标为（3,3）
设抛物线的方程为y=ax²+bx
将（3,3）和（6,0）分别代入
9a+3b=3
36a+6b=0
解得
a=-1/3,b=2
抛物线的解析式为y=-1/3x²+2x
2、设点D的坐标为（x,0）
｜OB｜=6,｜OD｜=｜x｜,｜OA｜=6
根据题意
36=｜x｜×6
x=-6或6（舍去）
点D的坐标为（-6,0）
｜AD｜=12,｜AB｜=6√2,｜BD｜=6√2
｜AB｜²+｜BD｜²=｜AD｜²
所以∠ABD=90度
BD是圆C的切线
3、存在一点P
｜OA｜=6,｜OC｜=3√2,｜AC｜=3√2
｜OC｜²+｜AC｜²=｜OA｜²
所以∠OCA=90度
过点A作OC的平行线交抛物线于点P,交y轴于点E,点P即为所求
由题意可知
BD‖OC‖AP,且C为AB中点
所以点O为BE中点,点E的坐标为（0,-6）
直线AP和直线AB垂直,所以直线AP的斜率是1
直线AP的方程为y=x-6
联立
y=x-6（1）
y=-1/3x²+2x（2）
（1）代入（2）
x-6=-1/3x²+2x
化简
x²-3x-18=0
（x-6）（x+3）=0
x=-3或x=6（舍去,此时为点A坐标）
x=-3时,y=-9
所以点P的坐标为（-3,-9）
4、已知点P是函数y=1/2x（x>0）图像上的一点,PA⊥x轴于点A,交函数Y=1/x(x>0)图像于点M,PB⊥y轴于点B,交函数y=1/x(x>0)于点N（点MN不重合）
（1）当点P的横坐标为2时,求△PMN的面积；
（2）证明：MN‖AB；（如图7）
（3）试问：△OMN能否为直角三角形?若能,请求出此时点P的坐标；若不能,请说明理由.
（1）点P横的坐标是2,那么纵坐标是1
点P（2,1）,A（2,0）,B（0,1）
将x=2代入y=1/x,y=1/2,那么点M的坐标（2,1/2）
将y=1代入y=1/x,x=1,那么点N的坐标为（1,1）
PM=1-1/2=1/2
PN=2-1=1
S△PMN=1/2×PM×PN=1/2×1/2×1=1/4
（2）
直线AB的斜率=（0-1）/（2-0）=-1/2
直线MN的斜率=（1/2-1）/（2-1）=-1/2
二者斜率相等
那么AB‖MN
（3）设点P的坐标为（2a,a）
则点M的坐标为（2a,1/2a）点N的坐标为（1/a,a）
直线AB的斜率是-1/2,∠MON明显不是直角
与直线AB垂直的直线方程是y=2x
y=2x
y=1/x
联立
